Question

13．等差數列{a_n}中，已知a_n＞0，a₂+a₅+a₈=33，且a₁+2，a₂+5，a₃+13構成等比數列{b_n}的前三項．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）記${c_n}=\frac{a_n}{b_n}+1$，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列與等比數列的通項公式即可得出．
（2）利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，則由已知得：a₂+a₅+a₈=33，即a₅=11．
又（11-4d+2）（11-2d+13）=（11-3d+5）²，解得d=2或d=-28（舍），
a₁=a₅-4d=3，∴a_n=a₁+（n-1）d=2n+1．
又b₁=a₁+2=5，b₂=a₂+5=10，
∴q=2，∴${b_n}=5×{2^{n-1}}$．
（2）${c_n}=\frac{a_n}{b_n}+1$=$\frac{2n+1}{5×{2}^{n-1}}$+1，
∴${T_n}=\frac{3}{{5•{2^0}}}+\frac{5}{5•2}+\frac{7}{{5•{2^2}}}+…+\frac{2n+1}{{5•{2^{n-1}}}}+n$，
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{3}{5•2}+\frac{5}{{5•{2^2}}}+…+\frac{2n+1}{{5•{2^n}}}+\frac{1}{2}n$，
兩式相減得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{5}[{\frac{3}{2^0}+\frac{2}{2}+\frac{2}{2^2}+…+\frac{2}{{{2^{n-1}}}}}]-\frac{2n+1}{{5•{2^n}}}+\frac{1}{2}n$，
∴${T_n}=2+n-\frac{2n+5}{{5•{2^{n-1}}}}$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數列與等比數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．