Question

1．如圖甲所示，BO是梯形ABCD的高，∠BAD=45°，OB=BC=1，AD=3BC，現將等腰梯形ABCD沿OB折起如圖乙所示的四棱錐P-OBCD，且PC=$\sqrt{3}$，點E是線段OP的中點．

（1）證明：OP⊥CD；
（2）在圖中作出平面CDE與PB交點Q，并求線段QD的長度．

Answer 1

分析 （1）推導出OP⊥OC，OB⊥OP，從而OP⊥平面OPD，以O為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法推導出DE和SC不可能垂直．
（2）作出Q點，利用坐標系求出Q的坐標，利用空間距離公式求解即可．

解答 證明：（1）如圖甲所示，因為BO是梯形ABCD的高，∠BAD=45°，
所以AO=OB，…（1分）
因為BC=1，OD=2OA，得OD=3，OC=$\sqrt{2}$，…（2分）
如圖乙所示，OP=OA=1，OC=$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{3}$，
所以有OP²+OC²=PC²，所以OP⊥OC，…（3分）
而OB⊥OP，OB∩OC=O，所以OP⊥平面OPD，…（4分）

又OB⊥OD，所以OB、OD、OP兩兩垂直．
故以O為原點，建立空間直角坐標系，如圖，
則P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，3，0）…（5分）
$\overrightarrow{OP}$=（0，0，1），$\overrightarrow{CD}$=（-1，2，0），
所以$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{CD}$=0，
所以OP⊥CD．…（6分）
解：（2）延長OB，DC，交于點M，連結EM，因為OD=3，BC=1，OB=1，所以BM=$\frac{1}{2}$，…（7分）
EM∩PE=Q，則Q即為平面CDE與PB交點，如圖：在平面xoz坐標系中，BP的方程為：x+z=1，ME的方程為：2x+6z=3…（9分），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+z=1}\\{2x+6z=3}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{3}{4}$，z=$\frac{1}{4}$，在空間直角坐標系中，Q（$\frac{3}{4}$，0，$\frac{1}{4}$）．
連結DQ，∴|$\overrightarrow{QD}$|=$\sqrt{（{\frac{3}{4}）}^{2}+{3}^{2}+（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{154}}{4}$…（12分）

點評 本題考查空間向量的應用，直線與平面垂直的判斷與性質定理的應用，空間距離公式的求法，考查轉化思想以及計算能力．