Question

6．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率為$\sqrt{3}$，實軸為AB，平行于AB的直線與雙曲線C交于點M，N，則直線AM，AN的斜率之積為-2．

Answer 1

分析 利用雙曲線的離心率求出a，b關系，設出M，N，利用斜率公式，轉化求解即可．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率為$\sqrt{3}$，可得$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，∴$\frac{a}$=$\sqrt{2}$，
設點M（x，y），則N（-x，y）則$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，A（-a，0），B（a，0）；
可得${y}^{2}=\frac{^{2}（{x}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}}$，所以k_AM•k_AN=$\frac{y}{x+a}•\frac{y}{-x+a}$=-$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$=$-\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=-2．
故答案為：-2．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力．