Question

17．某學校為了解該校高三年級學生數學科學習情況，對廣一模考試數學成績進行分析，從中抽取了n 名學生的成績作為樣本進行統計（該校全體學生的成績均在[60，140），按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示，樣本中分數在[70，90）內的所有數據的莖葉圖如圖2所示．

根據上級統計劃出預錄分數線，有下列分數與可能被錄取院校層次對照表為表（ c ）．

分數	[50，85]	[85，110]	[110，150]
可能被錄取院校層次	專科	本科	重本

（1）求n和頻率分布直方圖中的x，y的值；
（2）根據樣本估計總體的思想，以事件發生的頻率作為概率，若在該校高三年級學生中任取3 人，求至少有一人是可能錄取為重本層次院校的概率；
（3）在選取的樣本中，從可能錄取為重本和專科兩個層次的學生中隨機抽取3 名學生進行調研，用ξ表示所抽取的3 名學生中為重本的人數，求隨機變量ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （1）由題意可知，樣本容量n=$\frac{3}{0.006×10}$，再根據頻率分布直方圖的性質即可得出x，y．
（2）成績能被重點大學錄取的人數為50×（0.014+0.01+0.006）人，抽取的50人中成績能被重點大學錄取的頻率是$\frac{15}{50}$，故從該校高三年級學生中任取1人的概率為$\frac{3}{10}$．記該校高三年級學生中任取3人，至少有一人能被重點大學錄取的事件為E；進而得出P（E）=1-$（1-\frac{3}{10}）^{3}$即可得出．
（3）成績能被重點大學錄取的人數為15人，成績能被專科學校錄取的人數為50×（0.004+0.006）+2=7人，可得隨機變量ξ的所有可能取值為0，1，2，3，再利用超幾何分布列即可得出．

解答 解：（1）由題意可知，樣本容量$n=\frac{3}{0.006×10}=50$…（1分）
解得$x=\frac{5}{50×10}=0.01$…（2分）
$y=\frac{1-（0.04+0.06×2+0.1×2+0.2+0.3）}{10}=0.014$…（3分）
（2）成績能被重點大學錄取的人數為50×（0.014+0.01+0.006）=15人，抽取的50人中成績能被重點大學錄取的頻率是$\frac{15}{50}=\frac{3}{10}$，故從該校高三年級學生中任取1人的概率為$\frac{3}{10}$…（4分）
記該校高三年級學生中任取3人，至少有一人能被重點大學錄取的事件為E；
則$P（E）=1-{（1-\frac{3}{10}）^3}=\frac{657}{1000}$…（5分）
（3）成績能被重點大學錄取的人數為15人，成績能被專科學校錄取的人數為50×（0.004+0.006）+2=7人，…（6分）
故隨機變量ξ的所有可能取值為0，1，2，3…（7分）
所以，$P（ξ=0）=\frac{C_7^3}{{C_{22}^3}}=\frac{1}{44}$，$P（ξ=1）=\frac{{C_7^2C_{15}^1}}{{C_{22}^3}}=\frac{9}{44}$，$P（ξ=2）=\frac{{C_7^1C_{15}^2}}{{C_{22}^3}}=\frac{21}{44}$，$P（ξ=3）=\frac{{C_7^0C_{15}^3}}{{C_{22}^3}}=\frac{13}{44}$…（9分）
故隨機變量ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{44}$	$\frac{9}{44}$	$\frac{21}{44}$	$\frac{13}{44}$

…（11分）
隨機變量ξ的數學期望$E（ξ）=0×\frac{1}{44}+1×\frac{9}{44}+2×\frac{21}{44}+3×\frac{13}{44}=\frac{45}{22}$…（12分）

點評 本題考查了頻率分布直方圖的性質、“超幾何分布列”及其數學期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．