Question

2．某商場對A 商品近30 天的日銷售量y（件）與時間t（天）的銷售情況進行整理，得到如下數據經統計分析，日銷售量y（件）與時間t（天）之間具有線性相關關系．

時間（t）	2	4	6	8	10
日銷售量（y）	38	37	32	33	30

（1）請根據上表提供的數據，用最小二乘法原理求出 y 關于t的線性回歸方程$\widehaty=bx+a$；
（2）已知A 商品近30 天內的銷售價格Z（元）與時間t（天）的關系為：z=$\left\{\begin{array}{l}{t+20，（0＜20，t∈N）}\\{-t+100，（20≤t≤30，t∈N）}\end{array}\right.$根據（1）中求出的線性回歸方程，預測t為何值時，A 商品的日銷售額最大．
（參考公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n\overline{t}-\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{t}_{i}}^{2}-n{\overline{t}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{t}$）

Answer 1

分析 （1）根據題意，計算平均數與線性回歸系數，寫出所求的線性回歸方程；
（2）寫出日銷售額函數，根據分段函數求出商品日銷售額的最大值．

解答 解：（1）根據題意，計算$\overline{t}$=$\frac{1}{5}$×（2+4+6+8+10）=6，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（38+37+32+33+30）=34；
$\sum_{i=1}^{5}$t_iy_i=2×38+4×37+6×32+8×33+10×30=980，
$\sum_{i=1}^{5}$${{t}_{i}}^{2}$=2²+4²+6²+8²+10²=220，
所以回歸系數為：
$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n\overline{t}-\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{t}_{i}}^{2}-n{\overline{t}}^{2}}$=$\frac{980-5×6×34}{220-5{×6}^{2}}$=-1，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{t}$=34-（-1）×6=40，
故所求的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=-t+40；
（2）由題意日銷售額為
$L=\left\{\begin{array}{l}（t+20）（-t+40），0＜t＜20，t∈N\\（-t+100）（-t+40），20≤t≤30，t∈N\end{array}\right.$；
當0＜t＜20，t∈N時，L=（t+20）（-t+40）=-t²+20t+800=-（t-10）²+900；
所以當t=10時，L_max=900（元）；
當20≤t≤30，t∈N時，L=（-t+100）（-t+40）=t²-140t+4000=（t-70）²-900；
所以當t=20時，L_max=1600（元）；
綜上所述，估計當t=20天時，A商品日銷售額最大值為1600元．

點評 本題考查了線性回歸方程的求法與應用問題，也考查了分段函數的應用問題，是基礎題目．