Question

10．已知函數f（x）=|x-a|-|x+1|，且f（x）不恒為0．
（1）若f（x）為奇函數，求a值；
（2）若當x∈[-1，2]時，f（x）≤3恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由奇函數的性質可得f（0）=0，結合條件可得a=1，檢驗即可；
（2）由題意可得|x-a|≤4+x在x∈[-1，2]時恒成立．即有-4-x≤x-a≤x+4在x∈[-1，2]時恒成立，運用參數分離和一次函數的單調性，可得最值，進而得到a的范圍．

解答 解：（1）因為x∈R，若f（x）為奇函數，
則由f（0）=0，得|a|-1=0，
又f（x）不恒為0，得a=1．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（4分）
此時f（-x）=|-x-1|-|-x+1|=-f（x），符合f（x）為奇函數，所以a=1．┉┉┉┉┉┉┉┉┉（5分）
（2）當x∈[-1，2]時，f（x）≤3恒成立，
即|x-a|≤4+x在x∈[-1，2]時恒成立．
故-4-x≤x-a≤x+4在x∈[-1，2]時恒成立，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（8分）
即-4≤a≤（4+2x）_min，x∈[-1，2]．
而x∈[-1，2]，（4+2x）_min=2，所以a的范圍是[-4，2]．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（10分）

點評 本題考查絕對值函數的性質和不等式恒成立問題解法，注意運用絕對值的含義和參數分離，求最值，考查轉化思想，以及運算能力，屬于中檔題．