Question

19．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A′．
（Ⅰ）點E是AB的中點，點F是BC的中點，求證：平面A′ED⊥平面A′FD；
（Ⅱ）當BE=BF=$\frac{1}{4}$BC，求三棱錐A′-EFD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出A′F⊥A′D，A′E⊥A′F，從而A′F⊥平面A′ED，由此能證明平面A′ED⊥平面A′FD．
（Ⅱ）三棱錐A′-EFD的體積V${\;}_{{A}^{'}-DEF}$=${V}_{D-{A}^{'}EF}$，由此能求出結果．

解答 證明：（Ⅰ）∵在邊長為4的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，
將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A′．
∴A′F⊥A′D，EF=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，A′E=A′F=2，
∴A′E²+A′F²=EF²，∴A′E⊥A′F，
∵A′E∩A′D=A′，∴A′F⊥平面A′ED，
∵A′F?平面A′FD，∴平面A′ED⊥平面A′FD．
解：（Ⅱ）∵BE=BF=$\frac{1}{4}$BC=1，
∴A′E=A′F=3，EF=$\sqrt{2}$，A′D=4，
${S}_{△{A}^{'}EF}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{9-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∵A′F⊥A′D，A′E⊥A′D，A′F∩A′E=A′，
∴A′D⊥平面A′EF，
又A′D=4，∴三棱錐A′-EFD的體積：
V${\;}_{{A}^{'}-DEF}$=${V}_{D-{A}^{'}EF}$=$\frac{1}{3}×{S}_{{A}^{'}EF}×{A}^{'}D$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{17}}{2}×4$=$\frac{2\sqrt{17}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．