Question

18．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AP=AD=2CD=1，AB=2，PA⊥平面ABCD．
（1）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（2）若側棱PB上存在點Q，使得V_P-ACD：V_Q-ABC=1：2，求二面角Q-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）證明PA⊥BD，AC⊥BD，推出BD⊥平面PAC，然后證明平面PBD⊥平面PAC．
（2）分別以AD，AB，AP所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系A-xyz，求出相關點的坐標，設P，Q到平面ABCD距離分別為h₁，h₂，則h₁=AP=1．求出Q的坐標，求出平面QAC法向量，平面ABCD法向量，利用空間向量的數量積求解二面角Q-AC-B的余弦值．

解答 （1）證明：∵PA⊥平面ABCD，
又BD⊆平面ABCD，所以PA⊥BD
直角梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AD=2CD=1，AB=2，
所以$tan∠ABD=tan∠CAD=\frac{1}{2}$，
所以∠ABD=∠CAD，又∠DAC+∠BAC=90°
所以∠ABD+∠BAC=90°，即AC⊥BD
又AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（5分）
又BD⊆平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（6分）

解：（2）由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AD，PA⊥AB，又∠BAD=90°，
如圖，分別以AD，AB，AP所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系A-xyz，則$A（{0，0，0}），P（{0，0，1}），B（{0，2，0}），C（{1，\frac{1}{2}，0}），D（{1，0，0}）$．
設P，Q到平面ABCD距離分別為h₁，h₂，則h₁=AP=1．
∵V_P-ACD：V_Q-ABC=1：2，$\frac{{V}_{P-ACD}}{{V}_{Q-ABC}}=\frac{\frac{1}{3}{S}_{△ACD}{h}_{1}}{\frac{1}{3}{S}_{△ABC}{h}_{2}}=\frac{1}{2}$，所以h₂=$\frac{1}{2}{h}_{1}$，所以Q為PB的中點，即Q（0，1，$\frac{1}{2}$），
設平面QAC法向量為$\overrightarrow m=（{x，y，z}）$，又$\overrightarrow{AC}=（{1，\frac{1}{2}，0}），\overrightarrow{AQ}=（{0，1，\frac{1}{2}}）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{AQ}=0}\end{array}}\right.$得$\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}y=0}\\{y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}}\right.$，取y=-2，得$\overrightarrow m=（{1，-2，4}）$．
又平面ABCD法向量為$\overrightarrow m=\overrightarrow{AP}=（{0，0，1}）$，∴$cos＜\overrightarrow m•\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{4×1}{{\sqrt{21}×1}}=\frac{4}{21}\sqrt{21}$┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（11分）
又二面角Q-AC-B為銳角，所以二面角Q-AC-B的余弦值為$\frac{4}{21}\sqrt{21}$┉┉┉┉┉┉┉（12分）

點評 本題考查二面角的平面角的求法，平面與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及垃圾桶里計算能力．