Question

12．已知銳角α，β滿足$cosα=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，sin（{α-β}）=-\frac{3}{5}$，則sinβ的值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 構造思想，sinβ=sin[α-（α-β）]，利用兩角和與差的正弦公式打開計算即可．

解答 解：∵α，β是銳角，即$0＜α＜\frac{π}{2}，0＜β＜\frac{π}{2}$，
那么：$-\frac{π}{2}＜α-β＜\frac{π}{2}$，
∵sin（α-β）=$-\frac{3}{5}＜0$，
∴cos（α-β）=$\frac{4}{5}$，
∵$cosα=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
那么：sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{4}{5}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故答案為：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題主要考查了構造思想，sinβ=sin[α-（α-β）]，兩角和與差的正弦公式的運用．屬于基礎題．