Question

16．已知f（x）=lnx-x+1+a，g（x）=x²e^x（e為自然對數的底數），若對任意的x₁∈[$\frac{1}{e}$，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實數a的取值范圍是$\frac{1}{e}$≤a≤e．

Answer 1

分析 求函數的導數，利用導數研究函數的單調性和最值，建立條件關系進行求解即可．

解答 解：設f（x）=lnx-x+1+a，當x∈[$\frac{1}{e}$，1]時，f′（x）=$\frac{1-x}{x}$＞0，f（x）是增函數，
∴x∈[$\frac{1}{e}$，1]時，f（x）∈[a-$\frac{1}{e}$，a]，
∵對任意的x₁∈[$\frac{1}{e}$，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得lnx-x+1+a=x²e^x成立，
∴[a-$\frac{1}{e}$，a]是g（x）的不含極值點的單值區間的子集，
∵g′（x）=x（2+x）e^x，∴x∈（0，1]，g′（x）＞0，g（x）=x²e^x是增函數，
∴g（x）⊆[0，e]
∴[a-$\frac{1}{e}$，a]⊆[0，e]，
∴$\frac{1}{e}$≤a≤e；
故答案為$\frac{1}{e}$≤a≤e．

點評 本題主要考查方程恒成立問題，構造函數，求函數的導數，利用導數研究函數的單調性和取值范圍是解決本題的關鍵．