Question

15．在平面直角坐標系中，曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}cosa}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數）．以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．l與C交于A、B兩點．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程及直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）設點P（0，-2），求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三種方程互化方法，曲線C的普通方程及直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）點P（0，-2）在l上，l的參數方程為為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），代入$\frac{1}{5}$x²+y²=1整理得，3t²-10$\sqrt{2}$t+15=0，即可求|PA|+|PB|的值．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}cosa}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數），普通方程為C：$\frac{1}{5}$x²+y²=1；
直線l的極坐標方程為ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，即ρcosθ-ρsinθ=2，l：y=x-2．          …（4分）
（Ⅱ）點P（0，-2）在l上，l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）
代入$\frac{1}{5}$x²+y²=1整理得，3t²-10$\sqrt{2}$t+15=0，
由題意可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=$\frac{10}{3}$$\sqrt{2}$                …（10分）

點評 本題考查三種方程互化，考查參數的幾何意義，考查學生的計算能力，屬于中檔題．