Question

20．在平面直角坐標系xOy中，位于x軸上方的動圓與x軸相切，且與圓x²+y²-2y=0相外切．
（1）求動圓圓心軌跡C的方程式．
（2）若點P（a，b）（a≠0，b≠0）是平面上的一個動點，且滿足條件：過點P可作曲線C的兩條切線PM和PN，切點M，N連線與OP垂直，求證：直線MN過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

分析 （1）利用動圓與x軸相切，且與圓x²+y²-2y=0相外切，建立方程，即可求動圓圓心軌跡C的方程式．
（2）求出過M，N的直線方程為：$\frac{1}{2}ax-y-b=0$，又MN⊥OP，所以k_MN•k_OP=-1，$\frac{1}{2}a•\frac{b}{a}=-1$，所以b=-2，即可證明結論．

解答 解：（1）設動圓圓心C（x，y），（y＞0），
因為動圓與x軸相切，且與圓x²+y²-2y=0相外切，所以$\sqrt{{x^2}+{{（{y-1}）}^2}}-1=|y|$，
又y＞0，化簡得：x²=4y，（y＞0）．┉┉┉┉┉┉┉┉（6分）
（2）設P（a，b）（a≠0，b≠0），由方程x²=4y，（y＞0）得$y=\frac{1}{4}{x^2}$，兩邊對x求導得$y'=\frac{1}{2}x$．
設切點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）則M點處切線方程為$y-{y_1}=\frac{x_1}{2}（{x-{x_1}}）$．
又${y_1}=\frac{1}{4}{x_1}^2$，整理得：$\frac{1}{2}{x_1}x-y-{y_1}=0$，
又切線過P（a，b），所以$\frac{1}{2}{x_1}a-b-{y_1}=0$．
同理可得：$\frac{1}{2}{x_2}a-b-{y_2}=0$┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（9分）
所以過M，N的直線方程為：$\frac{1}{2}ax-y-b=0$
又MN⊥OP，所以k_MN•k_OP=-1，$\frac{1}{2}a•\frac{b}{a}=-1$，所以b=-2．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（11分）
直線MN：$\frac{1}{2}ax-y+2=0$過y軸上的定點（0，2）．┉┉┉┉┉┉┉（12分）

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關系，考查導數知識的運用，知識綜合性強．