Question

14．已知f（x）=（ax²+ax+x+a）e^-x（a≤0）．
（1）討論y=f（x）的單調性；
（2）當a=0時，若f（x₁）=f（x₂） （x₁≠x₂），求證x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，判斷函數的單調性即可；
（2）不妨設x₁＜1＜x₂，得到2-x₂＜1，問題轉化為證x₂＞（2-x₂）${e}^{{2x}_{2}-2}$，令g（t）=t-（2-t）e^2t-2（t＞1），根據函數的單調性證明即可．

解答 解：（1）由已知得：x∈R，f′（x）=$\frac{-（ax+1）（x-1）}{{e}^{x}}$，
若a=0，當x＜1時，f′（x）＞0，當x＞1時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
若-1＜a＜0時，-$\frac{1}{a}$＞1，
∴f（x）在（-∞，1）與（-$\frac{1}{a}$，+∞）遞增，在（1，-$\frac{1}{a}$）遞減，
若a=-1，f′（x）≤0，∴f（x）在R遞減，
若a＜-1，時，則-$\frac{1}{a}$＜1，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{1}{a}$）與（1，+∞）遞增，在（-$\frac{1}{a}$，1）遞減，
綜上：若a=0，f（x）在（-∞，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
-1＜a＜0時，f（x）在（-∞，1）與（-$\frac{1}{a}$，+∞）遞增，在（1，-$\frac{1}{a}$）遞減，
a=-1時，f′（x）≤0，∴f（x）在R遞減，
a＜-1時，f（x）在（-∞，-$\frac{1}{a}$）與（1，+∞）遞增，在（-$\frac{1}{a}$，1）遞減；
證明：（2）a=0時，f（x）=xe^-x，∴f′（x）=（1-x）e^-x，
∴f（x）在（-∞，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∵f（x₁）=f（x₂），（x₁≠x₂），
則不妨設x₁＜1＜x₂，∴2-x₂＜1，
要證x₁+x₂＞2，只需證明 x₁＞2-x₂，
由f（x）在（-∞，1）遞增，
即證f（x₂）＞f（2-x₂），即證$\frac{2{-x}_{2}}{{e}^{2{-x}_{2}}}$＜$\frac{{x}_{2}}{{e}^{{x}_{2}}}$，
即證x₂＞（2-x₂）${e}^{{2x}_{2}-2}$，
令g（t）=t-（2-t）e^2t-2（t＞1），
g′（t）=1+（2t-3）e^2t-2，
g″（t）=（4t-4）e^2t-2＞0，
∴g′（t）在（1，+∞）遞增，g′（t）＞g′（1）=0，
∴g（t）在（1，+∞）遞增，g（t）＞g（1）=0，
∴g（t）在（1，+∞）上恒大于0，
即x₂＞（2-x₂）${e}^{{2x}_{2}-2}$，
即x₁+x₂＞2．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道綜合題．