Question

16．如圖，空間幾何體ADE-BCF中，四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF
是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，AD⊥DC，AB=AD=DE=2，EF=4，M是線段AE上的動點．
（1）求證：AE⊥CD；
（2）試確定點M的位置，使AC∥平面MDF，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，求空間幾何體ADM-BCF的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出CD⊥ED，AD⊥DC，從而CD⊥平面AED，由此能證明AE⊥CD．
（2）當M是線段AE的中點時，連結CE交DF于N，連結MN，則MN∥AC，由此得到AC∥平面MDF．
（3）將幾何體ADE-BCF補成三棱柱ADE-B′CF，空間幾何體ADM-BCF的體積V_ADM-BCF=${V}_{三棱柱ADE-{B}^{'}CF}-{V}_{F-B{{B}^{'}C}_{\;}}$-V_F-DEM，由此能求出空間幾何體ADM-BCF的體積．

解答 證明：（1）∵四邊形CDEF是矩形，∴CD⊥ED，…（1分）
∵AD⊥DC，AD∩ED=D，
∴CD⊥平面AED，…（2分）
∵AE?平面AED，∴AE⊥CD．  …（3分）
解：（2）當M是線段AE的中點時，AC∥平面MDF，…（4分）
證明如下：
連結CE交DF于N，連結MN，
∵M、N分別是AE、CE的中點，…（5分）
∴MN∥AC，又MN?平面MDF，AC?平面MDF，…（6分）
∴AC∥平面MDF                                        …（7分）
（3）將幾何體ADE-BCF補成三棱柱ADE-B′CF，
∴三棱柱ADE-B′CF的體積V=S_△ADE•CD=$\frac{1}{2}×2×2×4$=8，…（8分）
空間幾何體ADM-BCF的體積：
V_ADM-BCF=${V}_{三棱柱ADE-{B}^{'}CF}-{V}_{F-B{{B}^{'}C}_{\;}}$-V_F-DEM
=8-$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2×2）×2$-$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2×4）×1$=$\frac{16}{3}$．…（11分）
∴空間幾何體ADM-BCF的體積為$\frac{16}{3}$．…（12分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查滿足線面平行的點的位置的確定與證明，考查幾何體的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．