Question

7．若圓${C_1}：{x^2}+{y^2}+ax=0$與圓${C_2}：{x^2}+{y^2}+2ax+ytanθ=0$都關于直線2x-y-1=0對稱，則sinθcosθ=-$\frac{2}{5}$，．

Answer 1

分析 求出圓心坐標，根據圓關于直線對稱，得到圓心在直線上，得到tanθ=-2，利用1的代換進行求解即可．

解答 解：圓C₁：x²+y²+ax=0的圓心坐標為（-$\frac{a}{2}$，0），圓C₂：x²+y²+2ax+ytanθ=0的圓心坐標為（-a，-$\frac{tanθ}{2}$），
∵兩圓都關于直線2x-y-1=0對稱，
∴圓心都在方程為2x-y-1=0的直線上，
則-$\frac{a}{2}$×2-1=0，得a=-1，
-2a+$\frac{tanθ}{2}$-1=0，即2+$\frac{tanθ}{2}$-1=0則$\frac{tanθ}{2}$=-1，即tanθ=-2，
則sinθcosθ=$\frac{sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{tanθ}{1+ta{n}^{2}θ}$=-$\frac{2}{5}$，
故答案為-$\frac{2}{5}$．

點評 本題主要考查三角函數值的化簡和計算，根據圓的對稱性，得到a，tanθ的值是解決本題的關鍵．綜合性較強．