Question

6．已知曲線C 的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{5}cosα\\ y=1+\sqrt{5}sinα\end{array}\right.$（α為參數），以直角坐標系原點O 為極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標系．
（Ⅰ）求曲線C 的極坐標方程；
（Ⅱ）設l₁：θ=$\frac{π}{6}$，l₂：θ=$\frac{π}{3}$，若l ₁、l₂與曲線C 相交于異于原點的兩點 A、B，求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將C參數方程化為普通方程，利用$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入，可得曲線C 的極坐標方程．
（Ⅱ）法一：利用參數的幾何意義，求|OB|，|OA|，∠AOB=60°，即可求△AOB的面積，
法二：在平面直角坐標系中，根據l₁：θ=$\frac{π}{6}$，l₂：θ=$\frac{π}{3}$，求出方程與圓C求解交點A和B，|OB|，|OA|，∠AOB=60°，即可求△AOB的面積，

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{5}cosα\\ y=1+\sqrt{5}sinα\end{array}\right.$（α為參數），利用sin²α+cos²α=1，
$\sqrt{5}sinα=x-2$，$\sqrt{5}cosα$=y-1，可得：（x-2）²+（y-1）²=5．
∴曲線C的普通方程為（x-2）²+（y-1）²=5．
將$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入并化簡得：ρ=4cosθ+2sinθ
即曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ+2sinθ．
（Ⅱ）解法一：在極坐標系中，C：ρ=4cosθ+2sinθ

∴由$\left\{{\begin{array}{l}{θ=\frac{π}{6}}\\{ρ=4cosθ+2sinθ}\end{array}}\right.$得到$|{OA}|=2\sqrt{3}+1$；
同理$|{OB}|=2+\sqrt{3}$．
又∵$∠AOB=\frac{π}{6}$
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{OA}|•|{OB}|sin∠AOB=\frac{{8+5\sqrt{3}}}{4}$．
即△AOB的面積為$\frac{{8+5\sqrt{3}}}{4}$．…（10分）
解法二：在平面直角坐標系中，C：（x-2）²+（y-1）²=5
l₁：θ=$\frac{π}{6}$，l₂：θ=$\frac{π}{3}$，可得${l_1}：y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$，${l_2}：y=\sqrt{3}x$
∴由$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x}\\{{{（{x-2}）}^2}+{{（{y-1}）}^2}=5}\end{array}}\right.$得$A（{\frac{{6+\sqrt{3}}}{2}，\frac{{2\sqrt{3}+1}}{2}}）$
∴$|{OA}|=2\sqrt{3}+1$
同理$B（{\frac{{2+\sqrt{3}}}{2}，\frac{{2\sqrt{3}+3}}{2}}）$
∴$|{OA}|=2\sqrt{3}+1$，$|{OB}|=2+\sqrt{3}$
又∵$∠AOB=\frac{π}{6}$
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{OA}|•|{OB}|sin∠AOB=\frac{{8+5\sqrt{3}}}{4}$
即△AOB的面積為$\frac{{8+5\sqrt{3}}}{4}$．

點評 本題主要考查了參數方程，極坐標方程與普通方程的換算．參數方程的幾何意義的運用．屬于中檔題．