Question

1．設S_n為各項不相等的等差數列a_n的前n 項和，已知a₃a₈=3a₁₁，S₃=9．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$}的前n 項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列的通項公式與求和公式即可得出．
（2）利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）設{a_n}的公差為d，則由題意知$\left\{{\begin{array}{l}{（{{a_1}+2d}）（{{a_1}+7d}）=3（{{a_1}+10d}）}\\{3{a_1}+\frac{3×2}{2}d=9}\end{array}}\right.$…（2分）
解得$\left\{{\begin{array}{l}{d=0}\\{{a_1}=3}\end{array}}\right.$（舍去）或$\left\{{\begin{array}{l}{d=1}\\{{a_1}=2}\end{array}}\right.$，…（4分）
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1…（6分）
（2）∵$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{n+1}）（{n+2}）}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，…（8分）
∴${T_n}=\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n-1}}}}$…（9分）
=$（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+…+（{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）$．  
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n}{{2（{n+2}）}}$…（12分）

點評 本題考查了“裂項求和方法”、等差數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．