Question

9．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為，點P是橢圓E上的一個動點，△PF₁F₂的周長為6，且存在點P使得，△PF₁F為正三角形．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若A，B，C，D是橢圓E上不重合的四個點，AC與BD相交于點F₁，且$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=0．若AC的斜率為$\sqrt{3}$，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意列關于a，c的方程組，求得a，c的值，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）由已知向量等式可得AC⊥BD，又${k}_{AC}=\sqrt{3}$，則${k}_{BD}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$．分別寫出AC、BD所在直線方程，聯立直線方程與橢圓方程，可得|AC|、|BD|的值，代入四邊形面積公式得答案．

解答 解：（1）設c為橢圓的半焦距，依題意，有：$\left\{\begin{array}{l}{2a+2c=6}\\{a=2c}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴b²=a²-c²=3．
故橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）解：由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=0⇒AC⊥BD，又${k}_{AC}=\sqrt{3}$，則${k}_{BD}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$．
則AC：$y=\sqrt{3}（x+1）$，BD：$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}（x+1）$．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=\sqrt{3}（x+1）}\end{array}\right.$，得5x²+8x=0，∴x=0或x=$-\frac{8}{5}$，
∴|AC|=$\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}|0-（-\frac{8}{5}）|=\frac{16}{5}$．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}（x+1）}\end{array}\right.$，得13x²+8x-32=0，∴$x=\frac{-4±12\sqrt{3}}{13}$，
∴|BD|=$\sqrt{1+（-\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}|\frac{-4+12\sqrt{3}}{13}-\frac{-4-12\sqrt{3}}{13}|$=$\frac{48}{13}$．
∴${S}_{ABCD}=\frac{1}{2}|AC|×|BD|=\frac{1}{2}×\frac{16}{5}×\frac{48}{13}=\frac{384}{65}$，
故四邊形ABCD面積為$\frac{384}{65}$．

點評 本題考查橢圓標準方程的求法，考查直線與橢圓位置關系的應用，考查計算能力，是中檔題．