Question

19．已知函數F（x）=xf（x），f（x）滿足f（x）=f（-x），且當x∈（-∞，0]時，F'（x）＜0成立，若$a={2^{0.1}}•f（{{2^{0.1}}}），b=ln2•f（{ln2}），c={log_2}\frac{1}{8}•f（{{{log}_2}\frac{1}{8}}）$，則a，b，c的大小關系是（　　）

• A． a＞b＞c
• B． c＞a＞b
• C． c＞b＞a
• D． a＞c＞b

Answer 1

分析 f（x）=f（-x），函數f（x）是偶函數，可得函數F（x）=xf（x）是奇函數．由當x∈（-∞，0]時，F'（x）＜0成立，可得函數F（x）在x∈（-∞，0]時單調遞減，因此函數F（x）在x∈R上單調遞減．

解答 解：∵f（x）=f（-x），函數f（x）是偶函數，∴函數F（x）=xf（x）是奇函數．
∵當x∈（-∞，0]時，F'（x）＜0成立，∴函數F（x）在x∈（-∞，0]時單調遞減，
因此函數F（x）在x∈R上單調遞減．
∵2^0.1＞1，ln2∈（0，1），$lo{g}_{2}\frac{1}{8}$＜0，$a={2^{0.1}}•f（{{2^{0.1}}}），b=ln2•f（{ln2}），c={log_2}\frac{1}{8}•f（{{{log}_2}\frac{1}{8}}）$，
∴a＜b＜c．
故選：C．

點評 本題考查了函數的奇偶性、單調性、指數函數與對數函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．