Question

14．已知等差數列{a_n}中，S_n是數列{a_n}的前n項和，已知a₂=9，S₅=65．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列$\left\{{\frac{1}{{{S_n}-n}}}\right\}$的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列的通項公式與求和公式即可得出．
（2）利用等差數列的求和公式、“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）設等差數列的首項為a₁，公差為d，因為a₂=9，S₅=65，
所以$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+d=9\\ 5{a_1}+\frac{5×4d}{2}=65\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=5\\ d=4\end{array}\right.$∴a_n=4n+1．
（2）∵a₁=5，a_n=4n+1，∴${S_n}=\frac{{n（{a_1}+{a_n}）}}{2}=\frac{n（5+4n+1）}{2}=2{n^2}+3n$，
∴$\frac{1}{{{S_n}-n}}=\frac{1}{{2{n^2}+2n}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴${T_n}=\frac{1}{{{S_1}-1}}+\frac{1}{{{S_2}-2}}+…+\frac{1}{{{S_n}-n}}=\frac{1}{2}[{（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）}]$=$\frac{n}{2n+2}$．

點評 本題考查了“裂項求和方法”、等差數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．