Question

5．將正整數12分解成兩個正整數的乘積有1×12，2×6，3×4三種，其中3×4是這三種分解中兩數差的絕對值最小的，我們稱3×4為12的最佳分解．當p×q（p≤q且pq∈N^*，）是正整數n的最佳分解時，我們定義函數f（n）=q-p，例如f（12）=4-3=1．數列{f（3ⁿ）}的前100項和為3⁵⁰-1．

Answer 1

分析 當n為偶數時，f（3ⁿ）=0；當n為奇數時，f（3ⁿ）=${3}^{\frac{n+1}{2}}$-${3}^{\frac{n-1}{2}}$=2×${3}^{\frac{n-1}{2}}$，再利用等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：當n為偶數時，f（3ⁿ）=0；
當n為奇數時，f（3ⁿ）=${3}^{\frac{n+1}{2}}$-${3}^{\frac{n-1}{2}}$=2×${3}^{\frac{n-1}{2}}$，
∴S₁₀₀=2（3⁰+3¹+…+3⁴⁹）=$2×\frac{{3}^{50}-1}{3-1}$=3⁵⁰-1．
故答案為：3⁵⁰-1．

點評 本題考查了等比數列的通項公式與求和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．