Question

20．當x＞2時，不等式x²-ax+9＞0恒成立，則實數a的取值范圍為（-∞，6）．

Answer 1

分析 問題轉化為a＜x+$\frac{9}{x}$在（2，+∞）恒成立，令f（x）=x+$\frac{9}{x}$，（x＞2），根據函數的單調性求出f（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：當x＞2時，不等式x²-ax+9＞0恒成立，
即a＜x+$\frac{9}{x}$在（2，+∞）恒成立，
令f（x）=x+$\frac{9}{x}$，（x＞2），則f′（x）=1-$\frac{9}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞3，令f′（x）＜0，解得：2＜x＜3，
故f（x）在（2，3）遞減，在（3，+∞）遞增，
故f（x）的最小值是f（3）=6，
故a＜6，
故答案為：（-∞，6）．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道中檔題．