Question

5．已知函數f（x）=-$\frac{n}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+2mx．
（1）若m=3，n=1，求f（x）的極值；
（2）若n=-1，-2＜m＜0，f（x）在[1，4]上的最大值為$\frac{16}{3}$，求f（x）在該區間上的最小值．

Answer 1

分析 （1）把m，n的值代入函數解析式，求出原函數的導函數，得到導函數的零點，從而求得原函數的極值點，求出極值；
（2）把n=-1代入函數解析式，求出導函數，由函數的單調性求得f（x）在[1，4]上的最大值為f（4）=8m+$\frac{40}{3}=\frac{16}{3}$．求得m值，進一步求出函數在區間[1，4]上的最小值．

解答 解：（1）當m=3，n=1時，$f（x）=-\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}+6x$，
f′（x）=-x²-x+6=-（x-2）（x+3），
當x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時，f′（x）＜0，當x∈（-3，2）時，f′（x）＞0．
∴f（x）的單調減區間為（-∞，-3），（2，+∞）；單調增區間為（-3，2）．
∴f（x）的極大值為f（2）=$\frac{22}{3}$；極小值為f（-3）=$-\frac{27}{2}$．
（2）當n=-1，-2＜m＜0時，$f（x）=\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}+2mx$，f′（x）=x²-x+2m．
令f′（x）=0，得${x}_{1}=\frac{1-\sqrt{1-8m}}{2}，{x}_{2}=\frac{1+\sqrt{1-8m}}{2}$，
f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上單調遞增，在（x₁，x₂）上單調遞減．
當-2＜m＜0時，有x₁＜1＜x₂＜4，
∴f（x）在[1，4]上的最小值為f（x₂），又f（4）＞f（1），
∴f（x）在[1，4]上的最大值為f（4）=8m+$\frac{40}{3}=\frac{16}{3}$．
解得m=-1，x₂=2，
故f（x）在[1，4]上的最小值為f（2）=$-\frac{10}{3}$．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查了利用導數求函數在閉區間上的最值，考查數學轉化思想方法，屬中檔題．