Question

17．設函數f（x）是定義在R上的函數，滿足f（x）=f（4-x），且對任意x₁，x₂∈（0，+∞），都有（x₁-x₂）[f（x₁+2）-f（x₂+2）]＞0，則滿足f（2-x）=f（$\frac{3x+11}{x+4}$）的所有x的和為（　　）

• A． -3
• B． -5
• C． -8
• D． 8

Answer 1

分析 確定f（x）在（2，+∞）上遞增，函數關于x=2對稱，利用f（2-x）=f（$\frac{3x+11}{x+4}$），可得2-x=$\frac{3x+11}{x+4}$，或2-x+$\frac{3x+11}{x+4}$=4，即x²+5x+3=0或x²+3x-3=0，利用韋達定理，即可得出結論．

解答 解：∵對任意x₁，x₂∈（0，+∞），都有（x₁-x₂）[f（x₁+2）-f（x₂+2）]＞0，
∴f（x）在（2，+∞）上遞增，
又∵f（x）=f（4-x），
∴f（2-x）=f（2+x），
即函數關于x=2對稱，
∵f（2-x）=f（$\frac{3x+11}{x+4}$），
∴2-x=$\frac{3x+11}{x+4}$，或2-x+$\frac{3x+11}{x+4}$=4，
∴x²+5x+3=0或x²+3x-3=0，
∴滿足f（2-x）=f（$\frac{3x+11}{x+4}$）的所有x的和為-8，
故選C．

點評 本題考查函數圖象的對稱性、單調性，考查韋達定理的運用，正確轉化是關鍵．