Question

6．函數f（x）的定義域為R，周期為1，當0≤x＜1時f（x）=x，若函數f（x）的圖象與$g（x）=2{x^2}+\sqrt{k}$的圖象只有一個交點，則實數k的取值范圍是（　　）

• A． $[\frac{1}{64}，1]$
• B． $[\frac{1}{8}，1]$
• C． $（\frac{1}{64}，1）$
• D． $（\frac{1}{8}，1）$

Answer 1

分析 畫出函數的圖象，利用函數f（x）的圖象與$g（x）=2{x^2}+\sqrt{k}$的圖象只有一個交點，列出方程轉化求解即可．

解答 解：函數f（x）的定義域為R，周期為1，當0≤x＜1時f（x）=x，函數f（x）的圖象與$g（x）=2{x^2}+\sqrt{k}$的圖象，如圖，y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象只有一個交點，

可知2x²+$\sqrt{k}$=x只有一個公共點，可得△=1-8$\sqrt{k}$=0，解得k=$\frac{1}{64}$，
此時，直線y=x（x∈（0，1））與y=2x²+$\sqrt{k}$相切，有兩個交點，
其中函數y=2x²+$\sqrt{k}$在（-1，0），只有一個交點，
當x=-1時，g（-1）=2+$\frac{1}{8}$＞1，說明x＜-1沒有公共點，當k＞1時，g（0）=$\sqrt{k}$＞1沒有公共點．
函數f（x）的圖象與$g（x）=2{x^2}+\sqrt{k}$的圖象只有一個交點，結合圖象可得k$∈（\frac{1}{64}，1）$．
故選：C．

點評 本題考查函數的圖象的應用，函數的零點與方程根的關系，考查轉化思想以及計算能力．