Question

14．設集合A=[0，1），B=[1，2]，函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+\frac{1}{2}，x∈A\\ 2（{1-x}），x∈B\end{array}$，若x₀∈A，且f[f（x₀）]∈A，則x₀的取值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知得0≤x₀＜1，從而$f（{x}_{0}）={x}_{0}+\frac{1}{2}$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），由f（x₀）∈[$\frac{1}{2}，1$）和f（x₀）∈[$1，\frac{3}{2}$）兩種情況分類討論經，能求出x₀的取值．

解答 解：∵集合A=[0，1），B=[1，2]，
函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+\frac{1}{2}，x∈A\\ 2（{1-x}），x∈B\end{array}$，x₀∈A，且f[f（x₀）]∈A，
∴0≤x₀＜1，∴$f（{x}_{0}）={x}_{0}+\frac{1}{2}$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
當f（x₀）∈[$\frac{1}{2}，1$）時，即x₀∈[0，$\frac{1}{2}$）時，
f[f（x₀）]=f（${x}_{0}+\frac{1}{2}$）=x₀+1∈[1，2），
∵f[f（x₀）]∈A，∴x₀+1∈[0，1），不成立；
當f（x₀）∈[$1，\frac{3}{2}$）時，即x₀∈[$\frac{1}{2}$，1）時，
f[f（x₀）]=f（${x}_{0}+\frac{1}{2}$）=2（1-${x}_{0}-\frac{1}{2}$）=1-2x₀，
∵f[f（x₀）]∈A，即1-2x₀∈[0，1），
由x₀∈[$\frac{1}{2}$，1），得1-2x₀∈（-1，0]，
∴1-2x₀=0，解得x₀=$\frac{1}{2}$．
綜上，x₀=0．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查函數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．