Question

4．數列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=2a_n-n（n∈N^*）．
（1）求證：數列{a_n+1}成等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）數列{a_n}中是否存在連續三項可以構成等差數列？若存在，請求出一組適合條件的三項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當n=1時，a₁=S₁，由條件求得首項，根據a_n+1=S_n+1-S_n，求得a_n+1+1=2（a_n+1），判斷出數列{a_n+1}是等比數列；
（2）利用等比數列的通項公式求得a_n+1，進而求得a_n；
（3）設存在k，k+1，k+2∈N^*，使得a_k，a_k+1，a_k+2成等差數列，根據等差中項的性質，化簡整理，結合指數函數的值域，即可判斷存在性．

解答 解：（1）證明：因為S_n=2a_n-n，
當n=1時，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1，
因為S_n=2a_n-n，
所以S_n+1=2a_n+1-（n+1），
則a_n+1=2a_n+1-2a_n-1，
所以a_n+1=2a_n+1，
所以a_n+1+1=2（a_n+1）
數列{a_n+1}是首項和公比均為2的等比數列；
（2）由（1）知，數列{a_n+1}是等比數列，
所以a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
所以a_n=2ⁿ-1．
（3）假設存在k，k+1，k+2∈N^*，使得a_k，a_k+1，a_k+2成等差數列，
則2a_k+1=a_k+a_k+2，即2（2^k+1-1）=2^k-1+2^k+2-1，
即2^k+2=2^k+2^k+2，即有2^k=0，這與2^k＞0矛盾，
故數列{a_n}中不存在連續三項可以構成等差數列．

點評 本題考查數列的通項公式的求法，探索數列{a_n}中是否存在連續三項成等差數列，注意構造法和轉化思想的運用，屬于中檔題．