Question

12．定義在R上的偶函數f（x）的導函數為f'（x），若對任意的實數x，都有2f（x）+xf'（x）＜2恒成立，則使x²f（x）-4f（2）＜x²-4成立的實數x的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• B． （-2，0）∪（0，2）
• C． {x|x≠±2}
• D． （-2，2）

Answer 1

分析 根據已知構造合適的函數，對函數求導，根據函數的單調性，求出函數的取值范圍，并根據偶函數的性質：對稱性，求出x＜0的取值范圍．

解答 解：當x＞0時，由2f（x）+xf′（x）-2＜0可知：兩邊同乘以x得：
2xf（x）-x²f′（x）-2x＜0
設：g（x）=x²f（x）-x²
則g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）-2x＜0，恒成立：
∴g（x）在（0，+∞）單調遞減，
由x²f（x）-4f（2）＜x²-4，
∴x²f（x）-x²＜4f（2）-4，
即g（x）＜g（2）
即x＞2；
當x＜0時，函數是偶函數，同理得：x＜-2，
綜上可知：實數x的取值范圍為（-∞，-2）∪（2，+∞），
故選：A．

點評 主要根據已知構造合適的函數，函數求導，并應用導數法判斷函數的單調性，偶函數的性質，難度中檔．