Question

19．以（1，0），（-1，0）為焦點的橢圓與y=x-2有公共點，則該橢圓離心率的最大值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$

Answer 1

分析 設出橢圓的方程，求出離心率的平方，將直線方程代入橢圓方程得得到的關于x的一元二次方程的判別式大于0，求出 b² 的最小值，此時的離心率最大，求解即可．

解答 解：由題意知，c=1，a²-b²=1，故可設橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}+1}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
離心率的平方為 $\frac{1}{{b}^{2}+1}$   ①，∵直線x-y-2=0與橢圓有公共點，將直線方程代入橢圓方程得
（2b²+1）x²-4（b²+1）x+3b²+4-b⁴=0，由△=16（b⁴+2b²+1）-4（2b²+1）（3b²+4-b⁴）≥0，
∴2b⁴-3b²≥0，∴b²≥$\frac{3}{2}$，或 b²≤0（舍去），∴b² 的最小值為$\frac{3}{2}$，a²=$\frac{5}{2}$，
∴離心率最大值為：$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的標準方程和簡單性質，利用直線和橢圓有交點可得判別式大于或等于0．