Question

9．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是邊長為2的正三角形，側(cè)面BB₁C₁C為矩形，D，E，F(xiàn)分別是線段BB₁，AC₁，A₁C₁的中點．
（1）求證：DE∥平面A₁B₁C₁；
（2）若平面ABC⊥平面BB₁C₁C，BB₁=4，求三棱錐C-AC₁D的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)B₁F，則四邊形DEFB₁是平行四邊形，從而DE∥B₁F，由此能證明DE∥平面A₁B₁C₁．
（2）過A作AH⊥BC于H，三棱錐C-AC₁D的體積${V}_{C-A{C}_{1}D}$=${V}_{A-C{C}_{1}D}$，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）連結(jié)B₁F，
∵D，E，F(xiàn)分別是線段BB₁，AC₁，A₁C₁的中點．
∴EF是△AA₁C₁的中位線，∴EF∥AA₁，且EF=$\frac{1}{2}$AA₁，
又AA₁∥BB₁，且AA₁=BB₁，DB₁=$\frac{1}{2}$BB₁，
∴EF∥DB₁，EF=DB₁，
∴四邊形DEFB₁是平行四邊形，從而DE∥B₁F，
又DE?平面A₁B₁C₁，B₁F?平面A₁B₁C₁，
∴DE∥平面A₁B₁C₁．
解：（2）過A作AH⊥BC于H，
∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，
∴AH⊥平面BB₁C₁C，
∴三棱錐C-AC₁D的體積：
${V}_{C-A{C}_{1}D}$=${V}_{A-C{C}_{1}D}$=$\frac{1}{3}{S}_{△C{C}_{1}D}$•AH
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×C{C}_{1}×BC×\frac{\sqrt{3}}{2}BC$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2×\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．