Question

19．已知a∈R，f（x）=aln（x-1）+x，f′（2）=2
（1）求a的值，并求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程y=g（x）；
（2）設h（x）=mf′（x）+g（x）+1，若對任意的x∈[2，4]，h（x）＞0，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導數，由題意解得a=1，求出曲線y=f（x）在x=2處的切線的斜率和f（2），由點斜式方程可得切線方程；
（2）由題意可得m（$\frac{1}{x-1}$+1）+x＞0，x∈[2，4]，即為m＞（1-x）_max，x∈[2，4]，由一次函數的單調性，可得最大值，即可得到m的范圍．

解答 解：（1）f（x）=aln（x-1）+x，
導數f′（x）=$\frac{a}{x-1}$+1，
則f′（2）=a+1=2，
解得a=1，f（x）=ln（x-1）+1，
f′（x）=$\frac{1}{x-1}$+1，
可得曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線斜率為1+1=2，
f（2）=ln1+1=1，
可得曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-1=x-2，
即為g（x）=x-1；
 （2）h（x）=mf′（x）+g（x）+1=m（$\frac{1}{x-1}$+1）+x，
對任意的x∈[2，4]，h（x）＞0，
即為m（$\frac{1}{x-1}$+1）+x＞0，x∈[2，4]，
即有m•$\frac{x}{x-1}$+x＞0，
即為m＞（1-x）_max，x∈[2，4]，
由1-x≤1-2=-1，可得m＞-1．
則實數m的取值范圍是（-1，+∞）．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數分離和轉化思想，考查運算能力，屬于中檔題．