Question

14．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且3bcos A=ccos A+acosC．
（1）求tanA的值；
（2）若a=4$\sqrt{2}$，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由3bcos A=ccos A+acosC，可得3sinBcos A=sinCcos A+sinAcosC，化為：3cosA=1．可得sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$，可得tanA=$\frac{sinA}{cosA}$．
（2）32=a²=b²+c²-2bccosA，再利用基本不等式的性質(zhì)可得bc≤24．利用S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$即可得出．

解答 解：（1）∵3bcos A=ccos A+acosC，∴3sinBcos A=sinCcos A+sinAcosC=sin（A+C）=sinB．
sinB≠0，化為：cosA=$\frac{1}{3}$，∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，可得tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$2\sqrt{2}$．
（2）32=a²=b²+c²-2bccosA≥2bc$-2bc×\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$bc，可得bc≤24，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2$\sqrt{6}$取等號(hào)．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$≤$\frac{1}{2}×24×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=8$\sqrt{2}$．
∴當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2$\sqrt{6}$時(shí)，△ABC的面積的最大值為8$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理余弦定理、三角形面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．