Question

5．如圖所示，某小區內有一矩形花壇，現將這一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B點在AM上，D點在AN上，且對角線MN過C點，已知AB=3米，AD=2米．
（Ⅰ）設DN=x米，BM=y米，矩形AMPN的面積為z米²，試用x，y表示z；
（Ⅱ）當DN的長度是多少時，矩形花壇AMPN的面積最小？并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）由相似得到xy=6，即可用x，y表示z；
（Ⅱ）化簡矩形的面積，利用基本不等式，即可求得結論．

解答 解：（1）由相似得到$\frac{x}{3}=\frac{2}{y}$，∴xy=6…（2分）
∴面積z=（x+2）（y+3）…（4分）
（2）z=（x+2）（y+3）=（x+2）（$\frac{6}{x}$+3）=3x+$\frac{12}{x}$+12≥24…（6分）
當且僅當3x=$\frac{12}{x}$，即x=2時，z有最小值24，
故DN的長為2米時，矩形AMPN的面積最小，最小值為24平方米…（8分）

點評 本題考查根據題設關系列出函數關系式，考查利用基本不等式求最值，解題的關鍵是確定矩形的面積．