Question

7．過點$P（1，\sqrt{2}）$的直線l將圓（x-2）²+y²=8分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率k=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 由劣弧所對的圓心角最小弦長最短，及過圓內一點最短的弦與過該點的直徑垂直，易得到解題思路．

解答 解：由題意，點P（1，$\sqrt{2}$）在圓（x-2）²+y²=8的內部，
圓心為C（2，0），要使得劣弧所對的圓心角最小，只能是直線l⊥CP，
所以k=-$\frac{2-1}{0-\sqrt{2}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
故答案為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點評 垂徑定理及其推論是解決直線與圓關系時常用的定理，要求大家熟練掌握，垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧．相關推論，過圓內一點垂直于該點直徑的弦最短，且弦所在的劣弧最短，優弧最長，弦所對的圓心角、圓周角最小．