Question

15．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c
（1）若a，b，c成等比數列，$cosB=\frac{12}{13}$，求$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosC}{sinC}$的值；
（2）若A，B，C成等差數列，且b=2，設A=α，△ABC的周長為l，求l=f（α）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意和平方關系求出sinB，由等比中項的性質和正弦定理化簡后，由兩角和的正弦公式、誘導公式化簡已知的式子，將數據代入求值即可；
（2）由等差中項的性質和內角和定理求出B，由條件和正弦定理求出a、c，表示出周長為l后，由兩角和與差的正弦公式化簡，由正弦函數的性質和α的范圍求出周長l的最大值．

解答 解：（1）∵$cosB=\frac{12}{13}$，0＜B＜π，
∴$sinB=\sqrt{1-co{s}^{2}B}=\frac{5}{13}$，
∵a，b，c成等比數列，∴b²=ac．        …（2分）
由正弦定理得，sin²B=sinAsinC，
∴$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosC}{sinC}=\frac{sinCcosA+cosCsinA}{sinAsinC}=\frac{sin（C+A）}{sinAsinC}$
=$\frac{sinB}{{{{sin}^2}B}}$=$\frac{1}{sinB}=\frac{13}{5}$…（6分）
（2）∵角A，B，C成等差數列，A+B+C=π，∴$B=\frac{π}{3}$，
又b=2，由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
∵$A=α，C=π-（A+B）=\frac{2π}{3}-α$，
∴$\frac{a}{sinα}=\frac{2}{{sin\frac{π}{3}}}=\frac{c}{{sin（\frac{2π}{3}-α）}}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$
∴$a=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinα，c=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sin（\frac{2π}{3}-α）$…（8分）
∴△ABC周長$l=f（α）=a+b+c=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinα+2+\frac{4}{{\sqrt{3}}}sin（\frac{2π}{3}-α）$
=$\frac{4}{{\sqrt{3}}}（sinα+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosα+\frac{1}{2}sinα）+2$=$\frac{4}{{\sqrt{3}}}（\frac{3}{2}sinα+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosα）+2$
=$4（\frac{\sqrt{3}}{2}sinα+\frac{1}{2}cosα）+2$=$4sin（α+\frac{π}{6}）+2$…（10分）
∵$0＜α＜\frac{2π}{3}$，∴當$α+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$即$α=\frac{π}{3}$時，
${l_{max}}=f（\frac{π}{3}）=4+2=6$，
所以△ABC周長l=f（α）的最大值為6．　　　       …（12分）

點評 本題考查正弦定理，兩角和與差的正弦公式、誘導公式，正弦函數的性質，以及等差、等比中項的性質等應用，考查轉化思想，化簡、變形能力．