Question

12．已知f（x）=|x+1|+|x-1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜4的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）-|a-1|＜0有解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍得到關于x的不等式組，解出即可；
（Ⅱ）根據絕對值的性質求出f（x）的最小值，問題轉化為|a-1|＞f（x）_min，求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=|x+1|+|x-1|＜4
?$\left\{\begin{array}{l}x≤-1\\-x-1-x+1＜4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-1＜x≤1\\ x+1-x+1＜4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x＞1\\ x+1+x-1＜4\end{array}\right.$，
解得：-2＜x≤-1或-1＜x≤1或1＜x＜2，
故不等式的解集為（-2，2）；                                      …（5分）
（Ⅱ）∵f（x）=|x+1|+|x-1|≥|（x+1）-（x-1）|=2，
∴f（x）_min=2，當且僅當（x+1）（x-1）≤0時取等號，
而不等式f（x）-|a-1|＜0有解?|a-1|＞f（x）_min=2，
又|a-1|＞2?a-1＜-2或a-1＞2
故a的取值范圍是（-∞，-1）∪（3，+∞）．                            …（10分）

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．