Question

已知點A為圓C：（x+2）²+（y-4）²=8上的動點，O為坐標原點，N為OA的中點．
（1）求動點N軌跡L的方程；
（2）若軌跡L的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；
（3）從軌跡L外一點P（x₁，y₁）向該軌跡引一條切線，切點為M，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值時點P的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系,圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：（1）設點N（x，y），則點A（2x，2y），則由點A在圓C：（x+2）²+（y-4）²=8上，求得曲線L 的方程．
（2）分切線經過原點時，和切線不經過原點兩種情況，根據圓心L（-1，2）到x+y-λ=0的距離等于半徑，求出切線中的參數，可得圓L的切線方程．
（3）設P（x₁，y₁），由切線PM⊥CM，|PM|²=|PL|²-|LM|²，可得2x₁-4y₁+3=0，故動點P在直線2x-4y+3=0上，由已知|PM|_min=|PO|_min ，即原點到2x-4y+3=0的距離．
此時，由

x12+x22=( 3 5 10 )2 2x1-4y1+3=0

，求得點P的坐標．

解答： 解：（1）設點N（x，y），則點A（2x，2y），由點A在圓C：（x+2）²+（y-4）²=8上，
可得：（2x+2）²+（2y-4）²=8，即圓L：（x+1）²+（y-2）²=2．
（2）當切線經過原點時，設切線方程為y=kx，即 kx-y=0，
則由圓心L（-1，2）到kx-y=0的距離等于半徑可得

|-k-2|

k2+1

=

2

，求得k=2+

6

，或 k=2-

6

，
故切線的方程為（2+

6

）x-y=0，或（2-

6

）x-y=0．
當切線不經過原點時，設切線方程為x+y-λ=0，再根據圓心L（-1，2）到x+y-λ=0的距離等于半徑可得

|-1+2-λ|

2

=

2

，
求得λ=-1，或 λ=3，故圓L的切線方程為x+y+1=0，或 x+y-3=0．
（2+

6

）x-y=0，或（2-

6

）x-y=0，或x+y+1=0，或 x+y-3=0．
（3）設P（x₁，y₁），∵切線PM⊥CM，
∴|PM|²=|PL|²-|LM|²，∴（x1+1）2+（y1-2）2-2=x12+y12，化簡得2x₁-4y₁+3=0，
所以動點P在直線2x-4y+3=0上，
由已知|PM|_min=|PO|_min=

|0-0+3|

22+42

=

3 5

10

，
則此時

x12+x22=( 3 5 10 )2 2x1-4y1+3=0

，解得

x1=- 3 10 x2= 3 5

，故點P（-

3

10

，

3

5

）．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，直線和圓相切的性質，點到直線的距離公式的應用，屬于基礎題．