Question

已知關于x的不等式|x+1|+|x-1|≤4m²+

1

m

對m＞0恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數恒成立問題

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：關于x的不等式|x+1|+|x-1|≤4m²+

1

m

對m＞0恒成立，即為|x+1|+|x-1|≤（4m²+

1

m

）_min，運用導數判斷右邊函數的單調性，進而得到極小值也為最小值，再由解絕對值不等式的方法，即可解得．

解答： 解：關于x的不等式|x+1|+|x-1|≤4m²+

1

m

對m＞0恒成立，
即為|x+1|+|x-1|≤（4m²+

1

m

）_min，
由于4m²+

1

m

的導數為8m-

1

m2

，當m＞

1

2

時，導數大于0，函數遞增，
當0＜m＜

1

2

時，導數小于0，函數遞減，則m=

1

2

，取得極小值也為最小值，
且為3，
即有|x+1|+|x-1|≤3，
當x≥1時，由2x≤3，解得，x≤

3

2

，則有1≤x≤

3

2

；
當x≤-1時，由-x-1+1-x≤3，解得，x≥-

3

2

，則有-

3

2

≤x≤-1；
當-1＜x＜1時，由-x-1+1-x≤3即有0≤3成立，則有-1＜x＜1．
故實數x的取值范圍是[-

3

2

，

3

2

]．

點評：本題考查不等式的恒成立問題轉化為求函數最值問題，考查導數的運用，考查絕對值不等式的解法，屬于中檔題．