Question

已知f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，則函數y=[f（x）]²+f（x 

1

2

）的值域為

 

．

Answer 1

考點：對數函數的值域與最值,二次函數在閉區間上的最值

專題：函數的性質及應用

分析：利用已知條件化簡所求函數的解析式，通過x的范圍，求解log₃x的范圍，然后求解函數的最值．

解答： 解：f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，
所以log₃x∈[0，2]，
函數y=[f（x）]²+f（x 

1

2

）=（2+log₃x）²+2+

1

2

log₃x
令t=log₃x，
∴函數y=t²+

9

2

t+6．t∈[0，2]，
函數的對稱軸為t=-

9

4

∉[0，2]函數的開口向上，在t∈[0，2]是增函數，
函數的最小值為：6，最大值為：19．
函數y=[f（x）]²+f（x 

1

2

）的值域為：[6，19]．
故答案為：[6，19]．

點評：本題考查對數函數的值域，二次函數閉區間上的最值的求法，考查轉化思想以及計算能力．