Question

已知α，β，γ是某三角形的三個內角，給出下列四組數據：
①sinα，sinβ，sinγ；②sin²α，sin²β，sin²γ；
③cos²

α

2

，cos²

β

2

，cos²

γ

2

；④tan

α

2

，tan

β

2

，tan

γ

2

；
分別以每組數據作為三條線段的長，其中一定能構成三角形的數組的序號是

 

．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：推理和證明

分析：設α，β，γ的對邊分別為a，b，c，不妨令α≤β≤γ，則a≤b≤c，則a+b＞c，分別判斷兩個較小的邊與最大邊的差是否一定大于0，可得答案．

解答： 解：設α，β，γ的對邊分別為a，b，c，
不妨令α≤β≤γ，則a≤b≤c，則a+b＞c
則①中，sinα=

a

2R

，sinβ=

b

2R

，sinγ=

c

2R

；則

a

2R

+

b

2R

＞

c

2R

，故一定能構成三角形；
②中，sin²α=

a2

4R2

，sin²β=

b2

4R2

，sin²γ=

c2

4R2

；由

a2

4R2

+

b2

4R2

-

c2

4R2

僅在a²+b²-c²＞0，即cosγ＞0時成立，故不一定能構成三角形；
③中，cos²

α

2

，cos²

β

2

，cos²

γ

2

，此時cos²

α

2

≥cos²

β

2

≥cos²

γ

2

，由cos²

β

2

+cos²

γ

2

-cos²

γ

2

=

cosβ+cosγ-cosα

2

+

1

2

＞0恒成立，故一定能構成三角形；
④中，當α=β=30°時，tan

α

2

+tan

β

2

-tan

γ

2

＜0，故不一定能構成三角形；
故答案為：①③

點評：本題考查了構成三角形的條件，三角函數的圖象和性質，是三角函數較為綜合的考查，難度較大，屬于難題．