Question

15．數列{a_n}中，若存在a_k，使得“a_k＞a_k-1且a_k＞a_k+1”成立（其中k≥2，k∈N^*），則稱a_k為{a_n}的一個H值．現有如下數列：①a_n=1-2n；②a_n=sinn；③a_n=$\frac{n-2}{{e}^{n-3}}$④a_n=lnn-n，則存在H值的數列有（　�。﹤�．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由新定義可知，若數列{a_n}有H值，則數列不是單調數列，且存在k（k≥2，k∈N^*），使得“a_k＞a_k-1且a_k＞a_k+1”成立．
①是等差數列，為單調數列；舉例說明②存在H值；利用導數判斷函數的單調性，說明③存在H值，④是單調數列．

解答 解：由新定義可知，若數列{a_n}有H值，則數列不是單調數列，且存在k（k≥2，k∈N^*），使得“a_k＞a_k-1且a_k＞a_k+1”成立．
對于①a_n=1-2n，該數列為遞減數列，不合題意；
對于②a_n=sinn，取k=2，則sin2＞sin1，且sin2＞sin3，數列存在H值；
對于③a_n=$\frac{n-2}{{e}^{n-3}}$，令f（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x-3}}$，f′（x）=$\frac{3-x}{{e}^{x-3}}$，由f′（x）=0，得x=3．
當x＜3時，f′（x）＞0，函數為增函數，當x＞3時，f′（x）＜0，函數為減函數，∴x=3時函數取得極大值，也就是最大值，
則對于數列a_n=$\frac{n-2}{{e}^{n-3}}$，有a₃＞a₂，且a₃＞a₄，數列存在H值；
對于④a_n=lnn-n，令g（x）=lnx-x，g′（x）=$\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，當x≥1時，g′（x）≤0，數列為遞減數列，不合題意．
∴存在H值的數列有2個．
故選：B．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查數列的函數特性，訓練了利用導數研究函數的單調性，是中檔題．