Question

7．在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）
（1）求曲線C的普通方程，l的直角坐標方程
（2）設l與C交于M，N兩點，點P（-2，0），若|PM|，|MN|，|PN|成等比數列，求實數a的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C轉化為ρ²sin²θ=2aρcosθ，（a＞0），由此能求出曲線C的普通方程；l的參數方程消去參數能求出l的直角坐標方程．
（2）將l的參數方程代入曲線C的普通方程，得：${t}^{2}-2\sqrt{2}at+8a=0$，由根的差別式得a＞4，由韋達定理得${t}_{1}+{t}_{2}=2\sqrt{2}a$，t₁t₂=8a，由此利用|PM|，|MN|，|PN|成等比數列，能求出a．

解答 解：（1）∵曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），∴ρ²sin²θ=2aρcosθ，（a＞0），
∴曲線C的普通方程為y²=2ax，（a＞0）；
∵l的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），
∴消去參數得l的直角坐標方程為：x-y+2=0．
（2）將l的參數方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）代入y²=2ax，（a＞0），
得：${t}^{2}-2\sqrt{2}at+8a=0$，
△=8a²-32a＞0，解得a＞4，
${t}_{1}+{t}_{2}=2\sqrt{2}a$，t₁t₂=8a，
∵|PM|，|MN|，|PN|成等比數列，
∴|t₁-t₂|²=|t₁t₂|，∴（2$\sqrt{2}a$）²-4×8a=8a，
解得a=5．

點評 本題考查曲線的普通方程與直線的直角坐標方程的求法，考查實數值的求法，涉及到直角坐標方程、極坐標方程、參數方程的互化、根的判別式、韋達定理、等比數列等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．