Question

3．設(shè)x₁，x₂是函數(shù)f（x）=（a-1）x³+bx²-2x+1（a≥2，b＞0）的兩個(gè)極值點(diǎn)，且$|{x_1}|+|{x_2}|=2\sqrt{2}$，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是[2$\sqrt{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 由題意求導(dǎo)f′（x）=3（a-1）x²+2bx-2，從而可得x₁，x₂是方程3（a-1）x²+2bx-2=0的兩個(gè)根，
利用根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂，x₁x₂．，可知x₁，x₂異號(hào)，從而可化簡(jiǎn)|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=2$\sqrt{2}$，從而解得．

解答 解：∵f（x）=（a-1）x³+bx²-2x，
∴f′（x）=3（a-1）x²+2bx-2，
∴x₁，x₂是方程3（a-1）x²+2bx-2=0的兩個(gè)根，
∴x₁+x₂=$\frac{-2b}{3（a-1）}$，x₁x₂=$\frac{-2}{3（a-1）}$，
∵a≥2，b＞0，∴兩根一正一負(fù)，
∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=2$\sqrt{2}$，⇒（${x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}=8$²-4x₁x₂=8
∴$（\frac{-2b}{3（a-1）}）^{2}+4×\frac{2}{3（a-1）}=8$
∵a-1≥1，b＞0
故b²=18（a-1）²-6（a-1）≥18-6=12，⇒b≥2$\sqrt{3}$
故答案為：$[2\sqrt{3}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．