Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}，x≤0\\-{x^2}，x＞0.\end{array}$
（1）求f[f（2）]并判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若對(duì)任意t∈[1，2]，f（t²-2t）+f（k-2t²）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由解析式可求f[f（2）]的值，利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）由（1）知奇函數(shù)f（x）在R上為減函數(shù)，任意t∈[1，2]，f（t²-2t）+f（k-2t²）＜0恒成立?任意t∈[1，2]，t²-2t＞2t²-k恒成立，分離參數(shù)k，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）f[f（2）]=f（-2²）=f（-4）=（-4）²=16．…（1分）
設(shè)x＞0，則f（x）=-x²且-x＜0，…（2分）
∴f（-x）=x²=-f（x）．…（3分）
當(dāng)x＜0，同理有f（-x）=-f（x），又f（0）=0，x∈R，
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．…（5分）
（2）∵函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，且函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，…（6分）
∴函數(shù)f（x）在R上為減函數(shù)，…（7分）
∵f（x）是奇函數(shù)，∴由f（t²-2t）+f（k-2t²）＜0得f（t²-2t）＜f（2t²-k），…（8分）
則對(duì)任意t∈[1，2]，t²-2t＞2t²-k恒成立，…（9分）
即k＞t²+2t對(duì)任意t∈[1，2]恒成立，…（10分）
當(dāng)t=2時(shí)，t²+2t取最大值8，∴k＞8，…（11分）
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是（8，+∞）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)奇偶性的判定，考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性與最值的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．