Question

9．已知數列{a_n}滿足a_n+1=2a_n，且a₁、a₂+1、a₃成等差數列．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記數列{log₂a_n}的前n項和為S_n，求使不等式S_n＞45成立的最小正整數n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：數列{a_n}為公比為2的等比數列，則a₃=4a₁，a₂=2a₁，由a₁、a₂+1、a₃成等差數列，則2（2a₁+1）=a₁+4a₁，即可求得a₁=2，由等比數列的通項公式，即可求得{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令b_n=log₂a_n=n，則數列{b_n}是以1為首項，以1為公差的等差數列，數列{log₂a_n}的前n項和為S_n，S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，由不等式S_n＞45，即n²+n-90＞0即可求得最小正整數n的值．

解答 解：（Ⅰ）由數列{a_n}滿足a_n+1=2a_n，
∴數列{a_n}為公比為2的等比數列，
由已知：a₁、a₂+1、a₃成等差數列，即2（a₂+1）=a₁+a₃，
由a₃=4a₁，a₂=2a₁，
∴2（2a₁+1）=a₁+4a₁，解得：a₁=2，
由等比數列通項公式可知：a_n=a₁•2^n-1=2ⁿ，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）令b_n=log₂a_n=n，
當n=1時，b₁=1，
當n≥2時，b_n-b_n-1=1，
∴數列{b_n}是以1為首項，以1為公差的等差數列，
∴數列{log₂a_n}的前n項和為S_n，S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
由不等式S_n＞45，即n²+n-90＞0
解得：n＞9，
使不等式S_n＞45成立的最小正整數n的值10．

點評 本題考查等差數列的性質，等比數列通項公式，考查對數函數的運算性質，考查數列與不等式的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．