Question

5．若函數f（x）=$\frac{x}{{\sqrt{a{x^2}+ax+1}}}$的定義域為R，則實數a的取值范圍是0≤a＜4．

Answer 1

分析 把函數f（x）=$\frac{x}{{\sqrt{a{x^2}+ax+1}}}$的定義域為R，轉化為ax²+ax+1＞0對任意實數x恒成立．然后分a=0和a≠0分類求解得答案．

解答 解：∵函數f（x）=$\frac{x}{{\sqrt{a{x^2}+ax+1}}}$的定義域為R，
∴ax²+ax+1＞0對任意實數x恒成立．
若a=0，不等式成立；
若a≠0，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$，解得0＜a＜4．
綜上：0≤a＜4．
故答案為：0≤a＜4．

點評 本題考查函數的定義域及其求法，考查數學轉化思想方法及分類討論的數學思想方法，是中檔題．