Question

19．已知函數f（x）為R上的單調函數，f^-1（x）是它的反函數，點A（-1，3）和點B（1，1）均在函數f（x）的圖象上，則不等式|f^-1（2^x）|＜1的解集為（　　）

• A． （-1，1）
• B． （1，3）
• C． （0，log₂3）
• D． （1，log₂3）

Answer 1

分析 由已知結合互為反函數的兩個函數圖象間的關系可得f^-1（3）=-1，f^-1（1）=1，再由|f^-1（2^x）|＜1，得
-1＜f^-1（2^x）＜1，即f^-1（3）＜f^-1（2^x）＜f^-1（1），再由函數的單調性轉化為指數不等式求解．

解答 解：∵點A（-1，3）和點B（1，1）在圖象上，
∴f（-1）=3，f（1）=1，又f^-1（x）是f（x）的反函數，
∴f^-1（3）=-1，f^-1（1）=1，
由|f^-1（2^x）|＜1，得-1＜f^-1（2^x）＜1，
即f^-1（3）＜f^-1（2^x）＜f^-1（1），
函數f（x）為R的減函數，∴f^-1（x）是定義域上的減函數，
則1＜2^x＜3，解得：0＜x＜log₂3．
∴不等式|f^-1（2^x）|＜1的解集為（0，log₂3）．
故選：C．

點評 本題考查函數單調性的性質，考查了互為反函數的兩個函數圖象間的關系，體現了數學轉化思想方法，是基礎題．