Question

2．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{2}（1-x）|，x＜1}\\{-{x}^{2}+4x-2，x≥1}\end{array}\right.$則方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=1的實根個數為（　　）

• A． 8
• B． 7
• C． 6
• D． 5

Answer 1

分析 令g（x）=x+$\frac{1}{x}$-2，則g（x）=1或3或-1或$\frac{1}{2}$，再根據g（x）的圖象判斷各個方程的根的個數即可．

解答 解：令f（x）=1得x=3或x=1或x=$\frac{1}{2}$或x=-1，
∵f（x+$\frac{1}{x}$-2）=1，
∴x+$\frac{1}{x}$-2=3或x+$\frac{1}{x}$-2=1或x+$\frac{1}{x}$-2=$\frac{1}{2}$或x+$\frac{1}{x}$-2=-1．
令g（x）=x+$\frac{1}{x}$-2，則當x＞0時，g（x）≥2-2=0，
當x＜0時，g（x）≤-2-2=-4，
作出g（x）的函數圖象如圖所示：

∴方程x+$\frac{1}{x}$-2=3，x+$\frac{1}{x}$-2=1，x+$\frac{1}{x}$-2=$\frac{1}{2}$均有兩解，
方程x+$\frac{1}{x}$-2=-1無解．
∴方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=1有6解．
故選C．

點評 本題考查了方程根與函數圖象的關系，屬于中檔題．