Question

16．已知直線l：nx+（n+1）y=1（n∈N^*）與坐標軸圍成的面積為a_n，則數列{a_n}的前10項和S₁₀為$\frac{5}{11}$．

Answer 1

分析 直線l：nx+（n+1）y=1（n∈N^*）與坐標軸的交點為：$（\frac{1}{n}，0）$，$（0，\frac{1}{n+1}）$．可得直線l與坐標軸圍成的面積為a_n=$\frac{1}{2}•\frac{1}{n}•\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用裂項求和方法即可得出．

解答 解：直線l：nx+（n+1）y=1（n∈N^*）與坐標軸的交點為：$（\frac{1}{n}，0）$，$（0，\frac{1}{n+1}）$．
∴直線l與坐標軸圍成的面積為a_n=$\frac{1}{2}•\frac{1}{n}•\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
則數列{a_n}的前10項和S₁₀=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{10}-\frac{1}{11}）]$
=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{11}）$
=$\frac{5}{11}$．
故答案為：$\frac{5}{11}$．

點評 本題考查了裂項求和方法、直線方程與坐標軸的交點、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．