Question

4．已知數列{a_n}前n項和為S_n，等差數列{b_n}的前n項和為T_n，且1+3S_n=a_n+1，a₅=256，b_n+b_n+1=${log}_{\sqrt{2}}$a_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求證：b_nb_n+1≥T_n．

Answer 1

分析 （1）因為1+3S_n=a_n+1，所以當n＞1時，1+3S_n-1=a_n，相減可得：即a_n+1=4a_n，利用等比數列的通項公式即可得出．
（2）由（1）知${a_n}={4^{n-1}}$，可得b_n+b_n+1=$lo{g}_{\sqrt{2}}{4}^{n-1}$=（n-1）$lo{g}_{\sqrt{2}}（\sqrt{2}）^{4}$=4n-4．設數列{b_n}的公差為d，可得b₁+b₂=2b₁+d=0，b₂+b₃=2b₁+3d=4，解得b₁，d，即可得出．

解答 解：（1）因為1+3S_n=a_n+1，所以當n＞1時，1+3S_n-1=a_n，
所以3（S_n-S_n-1）=a_n+1-a_n，即a_n+1=4a_n，
所以{a_n}從第二項開始是公比為4的等比數列，即${a_n}={a_2}{4^{n-2}}（{n＞1}）$，
因為a₅=256，所以$256={a_2}{4^{5-2}}$，解得a₂=4，
當n=1時，1+3S₁=a₂，解得${a_1}={S_1}=\frac{1}{3}（{{a_2}-1}）=1$，則a₂=4a₁，
所以{a_n}是首項為1公比為4的等比數列，其通項公式為${a_n}={4^{n-1}}$；
（2）由（1）知${a_n}={4^{n-1}}$，
所以b_n+b_n+1=${log}_{\sqrt{2}}$a_n=$lo{g}_{\sqrt{2}}{4}^{n-1}$=（n-1）$lo{g}_{\sqrt{2}}（\sqrt{2}）^{4}$=4n-4．
設數列{b_n}的公差為d，所以b₁+b₂=2b₁+d=0，b₂+b₃=2b₁+3d=4，
解得b₁=-1，d=2，所以b_n=-1+2（n-1）=2n-3，
所以${b_n}{b_{n+1}}=（{2n-3}）（{2n-1}）=4{n^2}-8n+3，{T_n}=\frac{1}{2}n（{-1+2n-3}）={n^2}-2n$，
所以${b_n}{b_{n+1}}-{T_n}=4{n^2}-8n+3-（{{n^2}-2n}）=3{（{n-1}）^2}≥0$．
所以b_nb_n+1≥T_n．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．